国民年金加入中などの方がお亡くなりになられた場合に支給されるのが、遺族基礎年金です。
受け取ることができるのは、子のいる配偶者、またはお亡くなりになられたことで親がいなくなってしまった子です。どちらも生計を維持されていたことが条件となります。
配偶者にあたるのは、戸籍上の配偶者のほかに、事実上の婚姻をしていた場合も認められます（相続の場合と異なるので注意が必要です）。現在は遺族が夫でも受け取ることができますが、平成２６年３月までは妻のみが受け取りの対象となっていました。
条件を満たす子がいない場合、遺族基礎年金はありません。ただし国民年金の第１号被保険者として保険料を納めていたのに、老齢基礎年金を受け取ることなくお亡くなりになられた場合、寡婦年金や死亡一時金を受け取れる可能性は残されています。

寡婦年金→こちら

死亡一時金→こちら

遺族が遺族基礎年金を受け取る為には、お亡くなりになられた方が、その時点で国民年金または厚生年金保険に加入中である、または保険料納付済期間と保険料免除期間を合わせて２５年以上ある方で老齢基礎年金を受け取っている、受け取れる加入期間を満たしている方であることが必要です。
加入の終わった６０歳以上６５歳未満の期間の方であれば、日本国内に住んでいることも条件になります。
お亡くなりになられた方が国民年金に加入中だった場合と６０歳以上６５歳未満だった場合には、加入していた全期間のうち、３分の２以上が保険料を納めていた期間（保険料を免除されていた期間も含む）であることも必要です。
この期間には、会社員などで厚生年金保険料を納めていた期間や、第３号被保険者として届け出をしていた期間も含めることができます。

では、妻子のほかに内縁の妻と子がいた場合どうなるのでしょうか。
戸籍上の妻のほかに内縁の妻がいて、どちらにも小さな子どもがいる場合などの場合です。
この場合は、お亡くなりになられた方がどちらの生計を維持していたかで判断されます。
重婚的内縁関係の場合、夫婦としての共同生活が行われていない期間を長期間（だいたい１０年以上）としていますが、多くのケースでは本妻と内縁の妻がおのおのに主張があるため、実態調査などを踏まえたうえで、総合的に判断されることになります。双方に支払われることはありません。